2579번 - 계단오르기

1. 문제 정의

 

계단 오르기 게임은 계단 아래 시작점부터 계단 꼭대기에 위치한 도착점까지 가는 게임이다. <그림 1>과 같이 각각의 계단에는 일정한 점수가 쓰여 있는데 계단을 밟으면 그 계단에 쓰여 있는 점수를 얻게 된다.

예를 들어 <그림 2>와 같이 시작점에서부터 첫 번째, 두 번째, 네 번째, 여섯 번째 계단을 밟아 도착점에 도달하면 총 점수는 10 + 20 + 25 + 20 = 75점이 된다.

 

계단 오르는 데는 다음과 같은 규칙이 있다.

1. 계단은 한 번에 한 계단씩 또는 두 계단씩 오를 수 있다. 즉, 한 계단을 밟으면서 이어서 다음 계단이나, 다음 다음 계단으로 오를 수 있다.
2. 연속된 세 개의 계단을 모두 밟아서는 안 된다. 단, 시작점은 계단에 포함되지 않는다.
3. 마지막 도착 계단은 반드시 밟아야 한다.

따라서 첫 번째 계단을 밟고 이어 두 번째 계단이나, 세 번째 계단으로 오를 수 있다. 하지만, 첫 번째 계단을 밟고 이어 네 번째 계단으로 올라가거나, 첫 번째, 두 번째, 세 번째 계단을 연속해서 모두 밟을 수는 없다.

각 계단에 쓰여 있는 점수가 주어질 때 이 게임에서 얻을 수 있는 총 점수의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

 - 입력 -

입력의 첫째 줄에 계단의 개수가 주어진다.

둘째 줄부터 한 줄에 하나씩 제일 아래에 놓인 계단부터 순서대로 각 계단에 쓰여 있는 점수가 주어진다. 계단의 개수는 300이하의 자연수이고, 계단에 쓰여 있는 점수는 10,000이하의 자연수이다.

 - 출력 -

첫째 줄에 계단 오르기 게임에서 얻을 수 있는 총 점수의 최댓값을 출력한다.

 

2. 문제 접근

처음에는 dfs로 접근했다가 경우의 수가 너무 많다고 판단되어 dp로 풀게 되었다.

 

3. 문제 풀이

먼저 dp 문제(가짜 문제를) 정의한다. Dy[i] 1차원 배열로 i번째 계단까지 갈 때의 최댓값을 구하는 것으로 정의하였다. 여기서 부족한 정보가 있는데, 그것은 i번째 계단 전에 i-1 번째 계단을 밟았냐 i-2 번째 계단을 밟았냐는 것이다. 만약 i-1 번째 계단을 밟고 왔다면 i-1 번째 이전의 계단은 i-2가 될 수 없다. 만약 i-2번째 계단을 밟고 왔다면, 그전계단을 밟아도 상관이 없을 것이다. 

따라서 부족한 정보를 보충하기 위해 Dy[i][j] 이차원 배열로 정의한다. Dy[i][0] 번째 값은 직전 계단(i-1)을 밟지 않고 왔을 경우,  Dy[i][1] 번째 값은 직전 계단(i-1)을 밟고 올라왔을 경우이다.

이것을 토대로 점화식을 세워보면 

 

Dy[i][0]=Math.max⁡(Dy[i-2][0], Dy[i-2][1])+A[i]

Dy[i][1]=Dy[i-1][0]+A[i]

이런식으로 정의할 수 있다.

 

정답에서 요구하는 것은 최대값이기 떄문에 Math.max(Dy[i][0],Dy[i][1]) 을 출력해주면 된다.

 

4. 코드

import java.io.*;
import java.util.StringTokenizer;

public class 계단오르기 {
    static FastReader scan = new FastReader();
    static StringBuilder sb = new StringBuilder();

    static int N;
    static int[][] Dy;
    static int[] A;
    static void input(){
        N = scan.nextInt();
        A = new int[N + 1];
        Dy = new int[N + 1][2];
        for (int i = 1; i <= N; i++){
            A[i] = scan.nextInt();
        }

    }

    // Dy[][] 를 미리 계산해 놓기
    // Dy[i][0] i-1 계단을 밟지 않고 계단에서 올 때
    // Dy[i][1] i-1 계단을 밟고 계단에서 올 때
    static void pro() {
        // 초기값 구하기
        Dy[1][0] = 0;
        Dy[1][1] = A[1];

        if(N >= 2){
            Dy[2][0] =A[2];
            Dy[2][1] =A[1]+A[2];
        }

        // 점화식을 토대로 Dy 배열 채우기
        for(int i = 3; i<=N; i++) {
            Dy[i][0] = Math.max(Dy[i-2][0]+A[i],Dy[i-2][1]+A[i]);
            Dy[i][1] = Dy[i-1][0] + A[i];

        }

        // Dy배열로 정답 계산하기
        int ans = Math.max(Dy[N][0], Dy[N][1]);

        System.out.println(ans);
    }
    public static void main(String[] args) {
        input();
        pro();
    }


    static class FastReader {
        BufferedReader br;
        StringTokenizer st;

        public FastReader() {
            br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        }

        public FastReader(String s) throws FileNotFoundException {
            br = new BufferedReader(new FileReader(new File(s)));
        }

        String next() {
            while (st == null || !st.hasMoreElements()) {
                try {
                    st = new StringTokenizer(br.readLine());
                } catch (IOException e) {
                    e.printStackTrace();
                }
            }
            return st.nextToken();
        }

        int nextInt() {
            return Integer.parseInt(next());
        }

        long nextLong() {
            return Long.parseLong(next());
        }

        double nextDouble() {
            return Double.parseDouble(next());
        }

        String nextLine() {
            String str = "";
            try {
                str = br.readLine();
            } catch (IOException e) {
                e.printStackTrace();
            }
            return str;
        }
    }
}

 

5. 회고

웬만한 dp 문제는 1차원 배열로는 풀기 힘든 것 같다....